Архив задач олимпиады по математике и криптографии
11 карточек
На столе выложены 11 карточек в порядке возрастания их номеров (Рис.а). Карточки разрешается перекладывать тройками, а именно: выбираем три любые карточки, например, с номерами 2, 3 и 5. Затем крайняя левая карточка перемещается на место средней, средняя на место крайней правой, а крайняя правая на место крайней левой. Результат изображен на Рис.б. Можно ли, перекладывая карточки указанным способом, уложить их как на Рис.а, но в порядке убывания номеров (карточка с номером 11 – первая, с номером 1 – последняя)?
Пусть сейчас карточки выложены в каком-то порядке. Пару карточек будем называть беспорядком, если у левой карточка номер больше, чем у правой. Например, для пяти карточек 1,2,5,4,3 имеется три беспорядка: (5,4), (5,3), (4,3). В исходном расположении карточек на столе число беспорядков равно нулю. Перекладывая тройку карточек указанным в условии способом, мы число беспорядков изменяем на некоторое четное число. Значит количесво беспорядков всегда должно оставаться четным. Но, если карточки выложены в обратном порядке, то число беспорядков равно 10+9+…+1, то есть нечетно.