Архив задач олимпиады по математике и криптографии
Кратное 2015
Докажите, что существует натуральное число, кратное 2015, десятичная запись которого имеет вид 12351235…1235 (т.е. образована последовательным повторением фрагмента 1235).
Натуральное число делится на 2015 нацело в том и только том случае, когда оно делится на 5 и на 403. Рассмотрим теперь все числа, десятичная запись которых имеет вид 12351235…1235:
Среди них найдутся два числа xm и xn(m>n), которые имеют одинаковые остатки при делении на 403. (Действительно, чисел вида (1) бесконечно много, а различных остатков от деления на 403 всего 403 штуки.) Тогда их разность xm-xn делится на 403. Теперь отбросим все нули на конце десятичной записи этой разности. В результате получим число вида (1). И это число, очевидно, по-прежнему делится на 403. Оно делится также и на 5, так как на 5 оканчивается, а значит делится на 2015.