Пусть Cn(a,b) = abab…ab – целое число, десятичная запись которого образована n–кратным повторением пары цифр a и b, где a≠0.
Выясните, при каких n число Cn(a,b) делится на 21 при любых значениях a и b.
Заметим, что abab…ab=ab·x, где x=101...01. Число Cn(a,b) образовано n-кратным повторением пары цифр ab, поэтому если приписать перед числом x цифру 0, то в полученной записи пара 01 встречается также ровно n раз. Поскольку левая часть должна делиться на 21 при любых a и b, число n должно быть таким, чтобы на 21 делился x. Число делится на 21 в том и только том случае, когда оно делится на 3 и на 7. Для делимости на 3 необходимо и достаточно, чтобы сумма цифр числа делилась на 3, поэтому n=3k. Оказывается, в нашем случае этого достаточно, чтобы число делилось и на 7. Представим x в виде суммы чисел по три единицы в каждом:
101...01=10101+10101·106+10101·1012+...+10101·106(k-1)
Каждое слагаемое в правой части делится на 7, так как 10101=7·1443
n=3k, где k – произвольное натуральное число.