Докажите, что уравнение
|
имеет один действительный корень и найдите его.
Пусть f(x) = x5 + 5x3 + 5x - 1. Тогда fў(x) = 5x4 + 15x2 + 5 > 0 для всех х, следовательно, функция f(x) строго возрастает на всей числовой оси и уравнение f(x) = 0 имеет ровно один корень. (Поскольку f(0) = -1 и f(1) = 10, этот корень лежит на интервале (0;1).) Будем искать корень в виде x = u + v. Возведем это равенство в пятую степень:
x5 = (u + v)5 = u5 + 5u4v + 10u3v2 + 10u2v3 + 5uv4 + v5 =Сумму кубов u3 + v3 запишем в виде (u + v)((u + v)2 -3uv) и с учетом того, что x = u + v, получим x5 = u5+ v5 + 5uvx(x2 - 3uv) + 10u2v2x. Окончательно x5 -5uvx3 + 5u2v2x - (u5 + v5) = 0. Сравнивая эту запись с исходным уравнением, получаем
Возведем первое уравнение системы в 5-ю степень и выполним замену u5 = a, v5 = b. Тогда
Отсюда a = [(-1 + Ц5)/2], b = [(-1-Ц5)/2].