Архив задач олимпиады по математике и криптографии

Кривая Пеано

Предложение на русском языке в соответствии с некоторым правилом вписано в клетки таблицы:


2926_usl.png

Найдите это правило и прочитайте предложение.


  • Решение

    • Решение

    Текст начинается с буквы Т, отмеченной черным кружком (хотя начинать читать можно с любого места). Листок с текстом следует развернуть так, чтобы буква Т приняла свое «естественное вертикальное» положение. Буква, оказавшаяся от Т справа (буква Е), будет второй буквой искомого текста. Справа от повернутой нужным образом буквы Е находится К, и т.д. Путь, вдоль которого прочитывается текст, указан на рис. 1.

    2926_rew1.png
    Рисунок 1

    Замечание. В обыденном представлении «кривая» - это «тонкий штрих, вьющийся по плоскости». Рассмотрим, например, функции x(t) = sint, y(t) = cost. Если параметр t пробегает отрезок от 0 до 2p, то точка с координатами (x(t),y(t)) пробегает на декартовой плоскости окружность единичного радиуса с центром в начале координат (x2(t)+y2(t)=1). Тригонометрические функции задают отображение отрезка [0;2p] в декартову плоскость. Это отображение непрерывно в том смысле, что если t «плавно» изменяется от 0 до 2p, то точка с координатами (x(t),y(t)) «плавно» пробегает всю окружность.

    В 1890 г. итальянский математик Дж. Пеано (1862-1943) привел поразительный пример, опровергающий представление о кривой как о «тонкой нити». Построенная им непрерывная кривая полностью заполняет квадрат (когда точка пробегает отрезок от 0 до 1, соответствующая точка на декартовой плоскости проходит через все точки квадрата). Вкратце построение можно описать так. Пусть A - точка отрезка (см. рис. 2).

    2926_rew2.png
    Рисунок 2

    Поставим ей в соответствие точку квадрата. Разобьем отрезок и квадрат пополам (линия 1). Точка A оказалась в правой части отрезка, и поэтому берем правую часть квадрата. Половину отрезка, содержащую A, и правую часть квадрата делим пополам (линия 2). Точка A оказалась слева от точки деления, поэтому берем нижнюю половину половины квадрата. Далее вновь делим пополам четверть отрезка, содержащую A, и соответствующую ей четверть квадрата, и т.п. Продолжив бесконечно этот процесс, получим последовательность отрезков, стягивающихся к точке A, и соответствующую ей последовательность прямоугольников, стягивающихся к точке квадрата В. Каждой точке квадрата при таком отображении будет соответствовать, по крайней мере, одна точка отрезка.

    Разбив отрезок на несколько равных частей и отобразив указанным способом точки разбиения, получим кривую наподобие кривой, приведенной на рис. 1.
  • Ответ

    • Ответ

    ТЕКСТ ЧИТАЕТСЯ ВДОЛЬ ПО КРИВОЙ ПРИДУМАННОЙ ИТАЛЬЯНСКИМ МАТЕМАТИКОМ ПЕАНО.