Геометрическое утверждение

Формулировка некоторого геометрического утверждения была вписана в клетки таблицы 10×10 построчно слева направо, начиная с верхней левой клетки. Знак переноса на следующую строку не ставился, но между соседними словами одной строки помещалась пустая клетка. Криптоша решил переставлять буквы в отдельных столбцах, сдвигая их все на одну позицию вверх и перенося самую верхнюю букву вниз (при этом пустую клетку он также считал буквой). Иногда он менял местами сразу все строки, симметричные относительно средней линии, а именно 1-ю с 10-й, 2-ю с 9-й - и т.д., после чего снова брался за передвижение букв в столбцах. В результате таблица приняла представленный на рисунке вид. Прочитайте исходное геометрическое утверждение.

а	л	п	н	в	и		в	т	р
е	о	с	н	л	я		о	л	т
п		я	л	ы	е	о	ы	т	у
е	о	а	о	щ	д	р	р	а	е
н	р	у	и		о	н	с	т	в
п	к	и	м	е	ь		р
е	в	о	ю	т	х	х	н	а	с
д	с	е	х	и	и	е	о	я
о	к	ь	т	ы	п	ь	п	е	н
с	ж	с	с	е	л		о	о	о

• Решение

Решение

Подходы участников олимпиады к решению этой задачи были весьма разнообразны. Предлагалось, например, решать эту задачу перебором, вырезав из бумаги три полосы, соответствующие первым трем строкам таблицы. Были попытки «увидеть» в зашифрованном тексте какое-либо слово, имеющее отношение к геометрической тематике, например, прямая, точка  и т.п. Немаловажную роль в решении сыграло то естественное соображение, что круг слов, используемых в геометрических текстах, существенно ограничен.

В определенном смысле операции сдвига букв в столбцах и отражения столбца относительно средней линии перестановочны. (Действительно, сдвинуть столбец на одну позицию вверх и затем отразить - это все равно что столбец сначала отразить, а затем сдвинуть вверх на девять позиций.) Поэтому можно считать, что сначала Криптоша передвигал буквы в столбцах, а затем, может быть, один раз отразил таблицу относительно средней линии. Рассмотрим букву я в предпоследнем столбце. Перед ней могут стоять буквы о, п, н, р, с, ы, в. Сочетание оя встречается в математических текстах в слове «постоянная», но необходимой буквы т в седьмом столбце нет. Сочетание ря может быть частью слова «прямая», но в седьмом столбце нет р. Сочетание ся (касающихся, пересекающихся и т.д.) представляется наиболее вероятным, и присутствие буквы щ в пятом столбце тому подтверждение. После того как столбцы с пятого по девятый выстроены так, чтобы прочитывалось щихся, получение ответа становится совсем простым делом.



• Ответ

Ответ

п	о	с	л	е	д	о	в	а	т
е	л	ь	н	ы	е		о	т	р
а	ж	е	н	и	я		п	л	о
с	к	о	с	т	и		о	т	н
о	с	и	т	е	л	ь	н	о
д	в	у	х		п	е	р	е	с
е	к	а	ю	щ	и	х	с	я
п	р	я	м	ы	х		р	а	в
н	о	с	и	л	ь	н	ы		е
е		п	о	в	о	р	о	т	у

Мы не будем останавливаться здесь на доказательстве этого геометрического утверждения. Отметим только (большинством решавших это было упущено), что утверждение верно и в том случае, когда прямые не лежат в плоскости. Поворот осуществляется относительно прямой, перпендикулярной двум данным прямым и проходящей через точку их пересечения.