Кодовая комбинация сейфа устанавливается на внутренней стороне дверцы с помощью трех дисков. Каждый из них может быть установлен в одно из 20 положений, пронумерованных числами от 0 до 19, поворотом по часовой стрелке. В начальный момент диски установлены в положение (0, 0, 0). За положение с номером 19 диск не поворачивается. При повороте каждого диска на одно положение раздается щелчок. Сравните число возможных кодовых комбинаций, при установке которых раздается 33, 32, 25 щелчков.
Пусть MN - число различных комбинаций, при установке которых раздается N (N Ј 57) щелчков.
Заметим, что из соображений симметрии MN = M57−N. Для обоснования этого равенства достаточно установить взаимно однозначное соответствие между комбинациями, получаемыми за N и за 57−N поворотов. Это можно, например, сделать так: сопоставим комбинации (n1,n2,n3), где n1+n2+n3=N, комбинацию (19−n1,19−n2,19−n3), получаемую за 19−n1+19−n2+19−n3=57−(n1+n2+n3)=57−>N щелчков. Отсюда заключаем, что число комбинаций, при установке которых раздается 32 и 25 щелчков, одинаково (M32=M25).
Из предыдущего рассуждения также следует, что М24=М33. Поэтому для завершения решения достаточно сравнить числа М24 и M25.
Комбинацию будем называть насыщенной, если один из дисков установлен в положение 19; остальные комбинации считаем ненасыщенными. Кроме того, будем отдельно рассматривать комбинации, в которых один из дисков установлен в положение 0.
Все комбинации, устанавливаемые за 24 щелчка, разделим на четыре группы: насыщенные и содержащие нуль, насыщенные без нуля, ненасыщенные с нулем, ненасыщенные без нуля. Легко подсчитать, что в первую группу входит 6 комбинаций (всевозможные перестановки чисел 19, 5 и 0), во вторую - 3·4=12 (три варианта места для числа 19; для каждого из них по четыре варианта значения первой незаполненной позиции, после чего оставшееся число находится однозначно), а в третью - 3·13 = 39 (три варианта выбора места для 0; для каждого из них возможно 13 вариантов выбора значения первой незаполненной позиции числами от 6 до 18). Число комбинаций в четвертой группе находить не будем, а просто обозначим его через X.
Мысленно выпишем все комбинации, получаемые за 24 щелчка, в один столбец, а получаемые за 25 щелчков - в другой. Если какая-либо комбинация первого столбца с помощью еще одного щелчка может быть преобразована в комбинацию второго столбца, то соединим их стрелкой. Проведем все такие стрелки. Из каждой комбинации первой группы выходит ровно две стрелки. Шесть из них ведут к комбинациям, содержащим 0, а шесть - к не содержащим 0. Каждую комбинацию второй группы также можно продолжить двумя способами, и все получаемые стрелки (их 24) ведут к комбинациям, не содержащим 0. Каждая комбинация третьей группы продолжается тремя способами, всего при этом получится 39·2 стрелок к комбинациям с нулем и 39 - к комбинациям без нуля. Комбинации последней группы можно продолжить также тремя способами. При этом получится 3X стрелок, все ведут к комбинациям, не содержащим 0.
Всего получим 6+39·2 = 84 стрелки, ведущие к комбинациям с нулем, и 6+24+39+3X - без нуля.
С другой стороны, к каждой комбинации, получаемой за 25 щелчков и не содержащей 0, ведет ровно три стрелки, а к комбинациям, содержащим 0, - ровно по две. Таким образом, число различных комбинаций, получаемых за 25 щелчков, составит 42+23+X=65+X, что на 8 больше, чем 6+12+39+X=57+X - число различных комбинаций, получаемых за 24 щелчка.
Количества комбинаций, получаемых за 25 и 32 щелчка, совпадают, комбинаций для 33 щелчков меньше.