Квадрат натурального числа может оканчиваться только на цифры 0, 1, 4, 5, 6, 9. Число 0ј0 натуральным не является. Число 5...5 не может быть квадратом, так как оно делится на 5, но не делится на 25. Аналогично 6...6 ≠ n2, так как это число делится на 2, но не делится на 4. Числа 4ј4 и 9ј9 являются полными квадратами в том и только том случае, когда полным квадратом будет 1ј1.
Докажем, что 1...1 ≠ n2. Предположим, что это не так: существует такое натуральное число n, что 1...1 = n2. Тогда n = 10k ± 1 и, следовательно, 100k2 ± 20k = 1...10 ⇔ 10k2 ± 2k = 1...1. Получили противоречие: нечетное число равно четному.