Решение
Согласно условию, исходное сообщение состоит из двух пятерок цифр: A
1A
2A
3A
4A
5 и B
1B
2B
3B
4B
5. Пусть C
1C
2 - последние две цифры суммы чисел, изображенных этими пятерками. Через a
Еb обозначим последнюю цифру суммы чисел a и b. Пусть D обозначает цифру переноса (цифру десятков) суммы (A
5 ⊕ B
5). По условию имеем, что A
5ЕB
5=C
2 и (A
4ЕB
4)
ЕD=C
1.
Пусть
G1 - первый член, а X - разность арифметической прогрессии, которую коммерсант использовал при шифровании. Тогда из условия получаем:
| A1 ЕG1 = 4 | (1) |
| A2 Е(G1+X) = 2 | (2) |
| A3 Е(G1+2X) = 3 | (3) |
| A4 Е(G1+3X) = 4 | (4) |
| A5 Е(G1+4X) = 6 | (5) |
| B1 Е(G1+5X) = 1 | (6) |
| B2 Е(G1+6X) = 4 | (7) |
| B3 Е(G1+7X) = 0 | (8) |
| B4 Е(G1+8X) = 5 | (9) |
| B5 Е(G1+9X) = 3 | (10) |
| B5 Е(G1+9X) = 3 | (10) |
| ((A4 ЕB4) ЕD) Е(G1+10X) = 1 | (11) |
| (A5 ЕB5) Е(G1+11X) = 3 | (12) |
Обозначим символом A
є B равенство остатков от деления на 10 чисел A и B. Тогда записи A
ЕB=C и (A+B)
є C имеют одинаковый смысл. Если A
є B и C
є D, то A+B
є C+D, A
-B
є C
-D. Всегда A
є A, так как остаток от деления единствен.
Из соотношений (4), (5), (9) и (10) находим соответственно:
| A4 є 4-(G1+3X) | (13) |
| A5 є 6-(G1+4X), | (14) |
| B4 є 5-(G1+8X) | (15) |
| B5 є 3-(G1+9X) | (16) |
Подставляя эти значения в равенства (11) и (12), получим следующие равенства: 9+D
-G-X
є 1 и 9
-G-2X
є 3. Отсюда следует, что
| X є (-2-D) | (17) |
| G1 є 2D | (18) |
Подставив X из (17) и
G1 из (18) в (1), (2),(3), (13, (14), (6), (7), (8), (15), (16), найдем выражения для цифр исходного сообщения:
| A1 є 4-2D, A2 є 4-D, A3 є 7, A4 є D, A5 є 4+2D) | |
| B1 є 1+3D, B2 є 6+4D, B3 є 4+5D, B4 є 1+6D | |
| B5 є 1+7D | |