Архив задач олимпиады по математике и криптографии

Периодичность замены

Шифрпреобразование простой замены в алфавите A={a1,a2,......,an}, состоящем из n различных букв, заключается в замене каждой буквы шифруемого текста буквой того же алфавита, причем разные буквы заменяются разными. Ключом шифра простой замены называется таблица, в которой указано, какой буквой надо заменить каждую букву алфавита A. Если слово СРОЧНО зашифровать простой заменой с помощью ключа:
А Б В Г Д Е Ж З И К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ь Ы Э Ю Я
Ч Я Ю Э Ы Ь Щ Ш Ц Х Ф У Б Д Т З В Р П М Л К А И О Ж Е С Г Н
то получится слово ВЗДАБД. Зашифровав полученное слово с помощью того же ключа еще раз, получим слово ЮШЫЧЯЫ. Сколько всего различных слов можно получить, если указанный процесс шифрования продолжать неограниченно?

  • Решение

    • Решение

    Несложно заметить, что рассматриваемый шифр обладает тем свойством, что при зашифровании разные буквы заменяются разными. Следовательно, при зашифровании разных слов получаются разные слова. С другой стороны, одинаковые буквы заменяются на одинаковые независимо от цикла шифрования, так как используется один и тот же ключ. Следовательно, при зашифровании одинаковых слов получаются одинаковые слова. Таким образом, число различных слов, которые можно получить в указанном процессе шифрования с начальным словом СРОЧНО, совпадает с наименьшим номером цикла шифрования, дающем это начальное слово.
    Так как буква С повторяется в каждом цикле шифрования, номер которого кратен 5, а буквы Р, О, Ч, Н  - в каждом цикле, номера которых кратны 13, 7, 2 и 3 соответственно, то слово СРОЧНО появится впервые в цикле с номером, равным НОК(2,3,5,7,13)= 2·3·5·7·13 = 2730.
  • Ответ

    • Ответ

    2730