Ответ
Докажем, что 20 является периодом рассматриваемой последовательности. Заметим, что у двух натуральных чисел а и b совпадают цифры единиц тогда и только тогда, когда их разность делится на 10. Таким образом, мы достигнем цели, если докажем, что разность (n+20)
n+20-n
n делится на 10 для всех натуральных значений n. Исходя из того, что p
k-q
k делится на (p
-q), получаем, что (n+20)
n+20-n
n+20 делится на ((n+20)
-20)=20. Кроме того, n
n+20-n
n=n
n(n
20- 1)=n
n((n
4)
5-1) делится на n(n
4-1) для всех n > 1. Вместе с тем, n(n
4-1)=n(n-1)(n+1)(n
2+1)=n(n-1)((n+2)(n-2)+5)=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+5(n-1)n(n+1), где каждое из слагаемых делится на 2 (так как содержит произведение n(n+1)) и делится на 5 (поскольку первое слагаемое есть произведение пяти последовательных чисел, а второе содержит множитель 5). Следовательно, n
n+20-n
n делится на 10. Число
| (n+20)n+20-nn=((n+20)n+20-nn+20)+(nn+20-nn) |
|
делится на 10, так как каждое из слагаемых делится на 10.
Проверим, что 20 является наименьшим периодом. Выписывая первые 20 значений последовательности C
1, C
2, ...
| 1 4 7 6 5 3 6 9 0 1 6 3 6 5 6 7 4 9 0 |
легко убедиться, что она не имеет периода меньшей длины.