Архив задач олимпиады по математике и криптографии
Сумма по диагонали
Квадратная таблица размером 1997×1997 заполнена натуральными числами от 1 до 1997 так, что в каждой строке присутствуют все числа от 1 до 1997. Найдите сумму чисел, стоящих на диагонали, которая соединяет левый верхний и правый нижний углы таблицы, если заполнение таблицы симметрично относительно этой диагонали.
Покажем, что на диагонали присутствуют все числа от 1 до 1997. Пусть число a ∈ {1,...,1997} не стоит на диагонали. Тогда, в силу симметрии таблицы, число a встречается четное количество раз. С другой стороны, так как число a по одному разу встречается в каждой строке, всего в таблице чисел a нечетное количество (1997). Получили противоречие. Всего на диагонали 1997 клеток, поэтому каждое число из множества {1,...,1997} встретится на диагонали ровно по одному разу. Вычисляя сумму арифметической прогрессии, находим ответ.