Решение
а) Определим моменты остановок после начала шифрования. Для этого каждой букве русского алфавита припишем ее порядковый номер:
А - 0,
Б - 1, и т. д. Тогда буквам из шифруемого слова будут соответствовать номера:
О - 15,
Л - 12,
И - 9,
М - 13,
П -16,
А - 0,
Д - 4. Моменты остановок будем указывать числом одношаговых (на один зубец) поворотов
I колеса до соответствующей остановки.
| остановки | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| Буква I колеса | О | Л | И | М | П | И | А | Д | А |
| Число одношаговых поворотов от начала до остановки | 15 | 45 | 75 | 79 | 82 | 108 | 132 | 136 | 165 |
| Цифра II колеса | 5 | 5 | 5 | 1 | 8 | 2 | 8 | 4 | 5 |
| Цифра III колеса | 1 | 2 | 5 | 2 | 5 | 3 | 6 | 3 | 4 |
Искомый шифртекст:
515355128523864354 б) Пусть t
k - количество одношаговых поворотов
I колеса от начала до остановки с номером k, k=1,2,...,
a
k - цифра, на которую указывает стрелка
II колеса в момент остановки с номером k,
b
k - цифра
III колеса, на которую указывает стрелка
III колеса в момент остановки с номером k.
Тогда, учитывая, что начальное положение стрелок соответствует букве
А на первом колесе и 0 на
II и
III колесах, справедливы равенства
tk=10mk-ak, k=1,2,...
tk=7nk+bk, k=1,2,... |
|
для подходящих неотрицательных целых чисел m
k и n
k.
Заметим, что 1=7·3
-10·2. Отсюда справедливы равенства
ak=7·(3ak)-10·(2ak), k=1,2,...
bk=7·(3bk)-10·(2bk), k=1,2,... |
|
Подставляя эти значения в равенства предыдущие, получим
tk=10(mk+2ak)-7(3ak), k=1,2,...
tk=7(nk+3bk)-10(2bk), k=1,2,... |
|
Следовательно,
| 10(mk+2ak)-7(3ak) = 7(nk+3bk)-10(2bk), k=1,2,... |
|
Правая и левая части делятся на 70, то есть имеют вид 70s
k для подходящего неотрицательного целого s
k. Поэтому
mk=7sk-2(ak+bk), k=1,2,...
nk=10sk-3(ak+bk), k=1,2,... |
|
Подставляя m
k, получим
| tk=70sk-21ak-20bk, k=1,2,... . |
|
Учитывая условие 0 < t
1 < t
2 < ... < t
7 и то, что остановка колеспроисходит в момент первого появления шифруемой буквы под стрелкой
I колеса, имеем
| k | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| ak | 2 | 8 | 9 | 8 | 9 | 1 | 1 |
| bk | 4 | 0 | 2 | 3 | 1 | 2 | 1 |
| -(21ak+20bk) | -122 | -168 | -229 | -228 | -209 | -61 | -41 |
| tk | 18 | 42 | 51 | 52 | 71 | 79 | 99 |
| Буквы | C | И | С | Т | Е | М | А |