Архив задач олимпиады по математике и криптографии

Уравнение с двумя параметрами

Для всех действительных чисел a, b решите уравнение

a / (1 - bx) = b / (1 - ax)

  • Решение

    • Решение

    При решении этого уравнения надо учитывать возможные ограничения: a ≠ 0, b ≠ 0, a-b ≠ 0, a+b ≠ 0. Поэтому целесообразно выделить их сразу.
    1. Пусть а=0, b=0. Уравнение имеет вид [0/(1-0x)]=[0/(1-0x)], то есть x - любое число.
    2. Пусть a=0, b ≠ 0. Уравнение имеет вид [0/(1-bx)]=[b/(1-0x)], или 0=b, то есть не имеет решений.
    3. Аналогично, при b=0, a ≠ 0 нет решений.
    4. При a ≠ 0, b ≠ 0 удобно рассмотреть три случая: а) a=b, b) a=-b, c) a ≠ ±b.
    a) a=b:    [a/(1-ax)]=[a/(1-ax)], x ≠ [1/a],    x - любое, кроме [b][1/a].
    b) mumu a=-b:    mumu[a/(1+ax)]=[(-a)/(1-ax)], mumu x ≠ ±[1/a], mumu [1/a]+x=-[1/a]+x, mumu[2/a]=0, решений нет.
    c) a ≠ ±b:
    a=b,        x1, x1,
    1-bx=1-ax,
    x(a-b)=1-1,
    x=(a-b)ab=1.
  • Ответ

    • Ответ

     При a=b=0 x - любое число.
    При a=b ≠ 0 x О (-Ґ;[1/a])И([1/a];Ґ).
    При a=0,b ≠ 0 или a ≠ 0, b=0 или a=-b ≠ 0 решений нет.
    При a № -b и a ≠ 0 и b ≠ 0 и a ≠ +b , получаем x=[1/(a+b)].