Бильярдные шары плотно уложены в правильный треугольник с основанием из 2006 шаров. На каждом шаре написано число. Сумма трех чисел, написанных на шарах при вершинах исходного треугольника, а также любых треугольников со сторонами, параллельными исходному треугольнику, равна 0. Какие числа могут быть написаны на шарах?
Рассмотрим фрагмент исходного треугольника, который представляет собой правильный треугольник, со стороной из четырех шаров. Пусть на верхнем шаре написано число а, а на одном из примыкающих снизу шаров – число b. Из условия задачи следует, что сумма чисел на любых трех попарно примыкающих шарах равна нулю. Поэтому числа на остальных шарах выражаются через а и b как показано на рисунке. Видим, что в вершинах фрагмента стоит число а, следовательно а = 0. Совершенно аналогично (рассмотрев правильный треугольник, со стороной из пяти шаров) доказывается, что b = 0.
Ответ: на всех шарах написано число 0.