Бильярдные шары

Бильярдные шары плотно уложены в правильный треугольник с основанием из 2006 шаров. На каждом шаре написано число. Сумма трех чисел, написанных на шарах при вершинах исходного треугольника, а также любых треугольников со сторонами, параллельными исходному треугольнику, равна 0. Какие числа могут быть написаны на шарах?

• Решение

Решение



Рассмотрим фрагмент исходного треугольника, который представляет собой правильный треугольник, со стороной из четырех шаров. Пусть на верхнем шаре написано число а, а на одном из примыкающих снизу шаров – число b. Из условия задачи следует, что сумма чисел на любых трех попарно примыкающих шарах равна нулю. Поэтому числа на остальных шарах выражаются через а и b как показано на рисунке. Видим, что в вершинах фрагмента стоит число а, следовательно а = 0. Совершенно аналогично (рассмотрев правильный треугольник, со стороной из пяти шаров) доказывается, что b = 0.

• Ответ

Ответ

Ответ: на всех шарах написано число 0.