В бесконечной последовательности цифр 2, 0, 0, 8, 0, 8, 6 ... каждая цифра, начиная с пятой, равна младшему разряду суммы четырех предыдущих цифр. Доказать, что в этой последовательности вновь встретятся подряд идущие цифры 2, 0, 0, 8.
Последовательность состоит из цифр от 0 до 9. Так как число четверок (a,b,c,d) таких цифр конечно (и равно 10000), то в последовательности рано или поздно встретятся две повторяющиеся четверки. Пусть они встретились на i-м и j-м месте, 0≤i
Закон рекурсии:
где r10 - остаток от деления на 10. Заметим, что по заданным четырем членам последовательности можно однозначно восстановить предыдущий член. Другими словами, если ui+4, ui+3, ui+2, ui+1 известны, то существует единственное ui, для которого выполняется рекуррентное соотношение (1). Поэтому если в последовательности совпали четверки на местах i и j, то совпадут четверки и на местах i-1 и j-1. И т.д. Поэтому совпадут четверки на местах 0 и j-i. Ч.т.д.