Делится, т.к. число 4k-1 делится на 5 тогда и только тогда, когда k кратно 2, на 7 - тогда и только тогда, когда k кратно 3, на 11 - тогда и только тогда, когда k кратно 5; показатель степени, очевидно, четен.
Далее, число 22008+32009+1991=22008-1+32009+1992 делится на 3, поскольку 2k-1 делится на 3 при четных k и 1992 делится на 3 по известному признаку делимости.
Числа 32009 и 22008 в десятичной записи оканчиваются на 3 и 6 соответственно, поэтому 22008+32009+1991 оканчивается на 0, т.е. делится на 5.