Замены после расширения сообщения, 8-9 кл.

Для зашифрования осмысленного слова его буквы переводят в числа x₁,x₂,…,x_n по таблице (внизу страницы). Затем выбирают натуральные числа x₀ и k. Далее число x₀ приписывают в начало последовательности x₁,x₂,…,x_n, а число x_(n+1)=x₀+11ⁿ (где n – длина слова) – в ее конец. Получившаяся в результате последовательность x₀,x₁,…,x_n,x_(n+1) (где x_(n+1)=x₀+11ⁿ) затем преобразуется в последовательность y₀,y₁,…,y_n,y_(n+1) по формуле y_i=r₃₂ (x_i+2x_i⋅k+k),i=0,…,n+1, где r₃₂ (a) – остаток от деления числа a на 32. Затем числа y₀,y₁,…,y_(n+1) заменяют буквами согласно таблице. В результате получилось вот что: ЩБНХБМЩХЪ. Какое слово было зашифровано?

 

А	Б	В	Г	Д	Е Ё	Ж	З	И	Й	К
0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

 

Л	М	Н	О	П	Р	С	Т	У	Ф
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20

 

Х	Ц	Ч	Ш	Щ	Ъ	Ы	Ь	Э	Ю	Я
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31

• Решение

Решение

Нетрудно понять, что длина слова n=7, а также несложно найти остаток r₃₂ (11ⁿ )=3. Преобразуем зашифрованный текст в последовательность чисел: 

y₀=25,y₁= 1,y₂= 13,y₃= 21,y₄= 1,y₅= 12,y₆= 25, y₇= 21,y₈= 26. 

Из условия следует, что x₈-x₀=3. Рассмотрим разность 

r₃₂ (y₈-y₀ )=r₃₂ (x₈+2x₈⋅k+k-x₀-2x₀⋅k-k)= 

=r₃₂ ((1+2k)⋅(x₈-x₀ ))=r₃₂ (3⋅(1+2k)). 

Имеем: r₃₂ (3⋅(1+2k))=1. Заметим, что r₃₂ (3⋅11)=1. Откуда находим r₃₂ (1+2k)=11. Значит, 1+2k=11+32t⟺k=5+16t 

Значит, r₃₂ (k)=5 или r₃₂ (k)=21. 

Рассмотрим первый случай. Согласно правилу зашифрования 

y₁=1=r₃₂ (x₁+2x₁⋅5+5)=r₃₂ (x₁⋅11+5), ⟺

11x₁+5=1+32t⟺11x₁=-4+32t 

Т.е. r₃₂ (11x₁ )=28⟹r₃₂ (33x₁ )=r₃₂ (28⋅3)=20⟹r₃₂ (x₁ )=20. 

Аналогично продолжая, получим последовательность 20, 24, 16, 20, 21, 28, 16. Что соответствует неосмысленному слову ФШРФХЬР. 




Рассмотрим второй случай r₃₂ (k)=21. Имеем 

y₁=1=r₃₂ (x₁+2x₁⋅21+21)=r₃₂ (x₁⋅43+21), ⟺

11x₁+21=1+32t⟺11x₁=-20+32t ⟹

r₃₂ (11x₁ )=12⟹r₃₂ (33x₁ )=r₃₂ (12⋅3)=4⟹

r₃₂ (x₁ )=4. y₂=13=r₃₂ (x₂+2x₂⋅21+21)=r₃₂ (x₂⋅43+21), ⟺

11x₂+21=13+32t⟺11x₂=-8+32t ⟹

r₃₂ (11x₂ )=24⟹r₃₂ (33x₁ )=r₃₂ (24⋅3)=8⟹r₃₂ (x₂ )=8. И т.д. 

Окончательно получим, исходную последовательность чисел 4,8,0,4,5,12,0. Согласно табл. ей соответствует слово ДИАДЕМА.
• Ответ

Ответ

ДИАДЕМА