Архив задач олимпиады по математике и криптографии

Таблица

В таблицу, состоящую из строк и столбцов, записаны числа так, что сумма элементов в каждой строке равна 790, а сумма элементов в каждом столбце равна 1422. Найдите числа и , при которых выражение принимает наименьшее возможное натуральное значение. При найденных параметрах и приведите пример указанной таблицы, в которой не все элементы одинаковы.

  • Решение

    • Решение

    Сумма всех элементов таблицы равна   и в то же время она равна  , поэтому:   

    тогда и только тогда, когда   

    Отсюда   кратно и кратно , а поскольку НОД(5,9)=1, постольку из свойств делимости вытекает, что .

    Наименьшее значение выражения 

    очевидно, равно при . В таком случае .

  • Ответ

    • Ответ

    7