Архив задач олимпиады по математике и криптографии
Счастливые билеты, 8-9 кл.
На билетах в кинотеатры Криптоландии проставляется шестизначный номер от (0,0,0,0,0,0) до (8,8,8,8,8,8). При этом используются только цифры 0,1,2,3,4,5,6,7,8. Билет считается «счастливым», если остатки от деления на 9 суммы первых трех цифр и суммы последних трех цифр отличаются на фиксированное число k=2. Например, билеты с номерами 123026 и 123661 – счастливые, а с номерами 123000 и 876111 – нет. Найдите число счастливых билетов.
Количество трёхзначных чисел x1 x2 x3, у которых остаток от деления на 9 суммы цифр равен фиксированному значению t∈{0,1,…,8}, равно 92=81, поскольку любые две цифры однозначно определяют третью из соотношения r9 (x1+x2+x3 )=t. Приведём возможные варианты для значений остатков для первой и последней тройки цифр:
(0,2),(1,3),…,(6,8),
(2,0),(3,1),…,(8,6)
их число равно 2×7=14, и тогда общее число счастливых билетов равно 2×7×92×92= 2×7×94=91854.