Число ключей, 8-11 классы.

Ключом шифрсистемы служит таблица 4×4, в каждую ячейку которой записана одна из цифр 0, 1, 2. При этом должны делиться на 3 сумма цифр в каждой строке, сумма цифр в каждом столбце, а также суммы цифр на каждой из двух диагоналей, отмеченных пунктиром. На рисунке приведен один из возможных вариантов ключа. Сколько существует всего различных ключей?

• Решение

Решение

Указанную в условии таблицу 4×4, можно построить следующим образом: положим элементы верхнего левого угла размеров 3×3, произвольным образом, после чего заметим, что все оставшиеся элементы определяются однозначно из линейных (по модулю 3) соотношений для строк и столбцов (при этом элемент в правом нижнем углу будет равен сумме по модулю 3 всех остальных элементов квадрата). Плюс к этому имеем два линейных соотношения для элементов диагоналей. Таким образом, общее число независимого выбора переменных a_{(i, j)}, i, j = 1, 2, 3 равно 7. Следовательно, общее число ключей равно 3⁷ = 2187.
• Ответ

Ответ

2187.