Архив задач олимпиады по математике и криптографии
Восстановление бита
Известно, что три числа a1, a2, a3были получены следующим
образом. Сначала выбрали натуральное число A и нашли
числа A1=
[A]16,
A2=
[A/2]16,
A3=
[A/4]16, где [X]16
– остаток от деления целой части числа X на 16 (например, [53/2]16 = 10). Затем было выбрано целое числоB такое, что 0 ≤B
≤ 15 . ЧислаA1, A2, A3 и Bзаписывают в
двоичной системесчисления, т.е. представляют
каждое из них в виде цепочки из 0 и 1 длины 4, приписывая слева необходимое
число нулей. Такие цепочки условимся складывать посимвольно«в столбик» без переносов в следующий разряд согласно правилам: 1+1 = 0+0 = 0и 1+0 = 0+1 = 1
, а саму операцию посимвольного сложения обозначим символом ⊕. Например,
3 ⊕ 14 = (0, 0, 1, 1)
⊕ (1, 1, 1, 0) = (1, 1, 0, 1) = 13. Положим a1 = A1⊕B, a2 = A2⊕B,a3 = A3⊕B. Найдите все возможные значения числа a3, если известно, что a1 = 4 ,
a2 = 10..