Сумма чисел на окружности

В концах диаметра окружности расположены числа 1 и 5, разбивающие окружность на две дуги. Совершим по окружности n  оборотов по часовой стрелке, приняв за начало обхода один из концов диаметра. После прохождения каждой имеющейся на данный момент дуги делим её пополам и в середине записываем число (3x +3y)/2 , где х и у – числа, стоящие на концах пройденной дуги, взятые в порядке направления обхода. Найдите сумму всех записанных чисел после n оборотов.

• Решение

Решение

Сначала заметим, что после первого оборота  количество дуг равно  2², после второго – 2³ , после последнего – 2ⁿ⁺¹.Пусть после оборота с номером k, 1≤k≤n  в точках деления окружности на дуги расположены числа x₁, x₂,..., x_2^k+1. Тогда в ходе оборота с номером k+1  на окружности появятся следующие новые числа 

y₁ = (3x₁ + 3x₂)/2,    y₂ = (3x₂ + 3x₃)/2 ,  ...  ,    y_2^k+1 = (3x_2^k+1 + 3x₁)/2.

Очеидно, что

y₁  +   y₂ + .... +  y_2^k+1   =   3( x₁ + x₂ + .... + x_2^k+1).


Значит, после k+1 оборота сумма всех чисел на окружности возрастёт в 4 раза. Если учесть, что первоначальная сумма чисел на окружности равнялась 6, то получаем окончательный ответ.



• Ответ

Ответ

6·4ⁿ