Архив задач олимпиады по математике и криптографии
Функции
Функции с областью определения и областью значений заданы таблицами (табл.1).
табл. 1
0
0
1
3
2
0
0
0
1
1
0
2
3
2
2
1
2
2
3
0
1
1
3
3
3
3
2
1
0
3
1
2
(а) для функции , заданной равенствами подберите различные числа такие, чтобы соотношение
(1)
выполнялось для всех
(б) докажите, что для любой функции с областью определения и областью значений , переводящей разные элементы в разные, найдутся числа (не обязательно различные) при которых выполнено равенство (1).
(б) Пусть . Выберем среди такую функцию , что . Пусть . Ясно, что . Выберем среди функцию такую, что . Тогда функция удовлетворяет условию . Пусть . Ясно, что . Выберем среди функцию такую, что . Тогда функция удоволетворяет равенствам . Значит, и для всех
(а) Используя рассуждения п.(б) можно прийти к одному из вариантов ответа: a = 2, b = 5, c = 6.