Архив задач олимпиады по математике и криптографии
Построения с трисекцией
Имеются карандаш, линейка, а также некоторое специальное устройство, которое для любого изображенного на плоскости угла строит два луча, делящие этот угол на три равных угла. С помощью этих инструментов постройте на плоскости угол величиной 100. (Напомним, что карандашом можно отметить точку плоскости, в частности, точку пересечения двух прямых. Линейка лишь позволяет провести прямую через две отмеченные точки, и никаких «параллельных или перпендикулярных краев» у неё нет.)
На прямой, проведенной через две различные точки A и D, отметим точки B и С как на рисунке. Разделим развернутые углы ABС и DCB (которые следует представлять себе отложенными сначала в верхнюю, а затем и в нижнюю полуплоскость относительно прямой AD) на три равные части. Получим в результате прямые, образующие угол 600 с прямой AD и пересекающиеся в точках K и L. Пусть O – точка пересечения AD и KL. Угол BKO равен, очевидно, 300. Разделив его на три части, получим требуемый угол. Построение выполнено.
На прямой, проведенной через две различные точки A и D, отметим точки B и С как на рисунке. Разделим развернутые углы ABС и DCB (которые следует представлять себе отложенными сначала в верхнюю, а затем и в нижнюю полуплоскость относительно прямой AD) на три равные части. Получим в результате прямые, образующие угол 600 с прямой AD и пересекающиеся в точках K и L. Пусть O – точка пересечения AD и KL. Угол BKO равен, очевидно, 300. Разделив его на три части, получим требуемый угол. Построение выполнено.