Сделаем замену переменных y=|x3-1|. Во-первых, рассмотрев график функции y=|x3-1| (или любым другим стандартным способом), можно сделать вывод, что
минимальное значение величины y=|x3-1| равно 0 (при x=1),
множество значений величины y=|x3-1| имеет вид [0;+∞),
для любого c∈(0;+∞) уравнение c=|x3-1| имеет ровно два решения.
Теперь решим уравнение a·y2+(a+1)·y-2(a+1)=0.
Нам необходимо найти значения параметра a, при которых данное уравнение имеет ровно два решения, лежащие в множестве (0;+∞). (Только при таких условиях исходное уравнение будет иметь четыре решения).
Если a=0, то данное уравнение имеет единственное решение y=2. В этом случае исходное уравнение имеет два решения.
Пусть теперь a>0 . В этом случае искомое множество значений параметра a описывается системой условий
(a+1)2+8a(a+1)>0,
a·02+(a+1)·0-2(a+1)>0,
a+1
- ——>0.
2a
(Здесь применяются факты о расположении корней квадратного трехчлена)
Решим эту систему при условии, что a>0.
9a2+10a+1>0,
a< -1,
a+1
- ——>0.
2a
Второе неравенство в системе противоречит условию a>0.
Пусть теперь a<0 . В этом случае искомое множество значений параметра a описывается системой условий
(a+1)2+8a(a+1)>0,
a·02+(a+1)·0-2(a+1)<0,
a+1
- ——>0.
2a
(Здесь также применяются факты о расположении корней квадратного трехчлена)
