Архив задач олимпиады по математике и криптографии
Соревнования роботов
На соревнованиях беговых роботов было представлено некоторое количество механизмов. Роботов выпускали на одну и ту же дистанцию попарно. В протоколе фиксировались разности времен финиша победителя и побежденного в каждом из забегов. Все они оказались разными: 1 сек., 2 сек., 3 сек., 4 сек., 5 сек., 6 сек. Известно, что в ходе бегов каждый робот соревновался с каждым ровно один раз, и что каждый робот всегда бегал с одной и той же скоростью. Определите число представленных на бегах механизмов, а также время прохождения дистанции каждым из них, если лучшее время прохождения дистанции было равно 30 секундам.
Пусть в забеге участвовало роботов. Из условия задачи следует, что количество "попарных" забегов (т.е. каждый с каждым) равно 6. Это число равно
поскольку первый робот должен пробежать с другими роботами, второй уже с другими и т.д. Имеем квадратное уравнение:
из которого находим, что его единственное натуральное решение
Обозначим через -- временные результаты забегов 4-х роботов в порядке их строгого возрастания . Ясно, что самый медленный робот с результатом отстал от самого быстрого () на 6 секунд и поэтому его результат -- секунд. Остается найти .
Поскольку в одном из забегов имеется разность 5 секунд, то перебирая все возхможные случаи и используя тот факт, что разности времен забегов -- целые числа, придем к двум возможным вариантам:
, откуда ;
, откуда .
В обоих вышеперечисленных случаях результат забега оставшегося робота определяется однозначно: соответственно, в силу того, что разности времен забегов различны.