Линия связи

Линия связи состоит из 4-х каналов, пронумерованных числами 1,2,3,4. Для передачи по линии сигнала на каждый канал подается свой импульс, величина которого может быть 7, 9 или 11 единиц. В каждом канале есть усилитель, который увеличивает поданный импульс в 3^i-1 раз, где i - номер канала. На выходе линии формируется сигнал, который равен остатку от деления на 81 суммы полученных по каналам импульсов. Какие импульсы необходимо подать на каналы, чтобы получить сигнал, величиной 6 единиц?

• Решение

Решение

Заметим, что числа 7, 9, 11, равные импульсам, которые передаются по каналам, дают разные и в точности все возможные остатки при делении на 3. Пусть a - целое значение, равное сумме импульсов, переданных по четырем каналам. Тогда по условию r₈₁(a)=6, где r₈₁(a) - остаток от деления a на 81. Справедливо представление a=a₁+3a₂+9a₃+27a₄, где a_i∈{7,9,11}, i∈{1,2,3,4}. В то же время из условия задачи a=6+81q, q - целое. Но тогда, нетрудно понять, что r₃(a₁)=r₃(a)=r₃(6+81q)=r₃(6)=0. Откуда следует, что число a₁ может равняться только 9, поскольку только оно дает остаток 0 при делении на число 3. Получим a-9 =3a₂+9a₃+27a₄=-3+81q, a₂+3a₃+9a₄=-1+27q. Аналогично предыдущим рассуждениям имеем: r₃(a₂)=r₃(a₂+3a₃+9a₄)=r₃(-1+27q)=r₃(-1)=2. Отсюда находим, что a₂=11. Далее получим равенства: 3a₃+9a₄=-1+27q-11=-12+27q, a₃+3a₄=-4+9q.Также аналогично найдем r₃(a₃)=r₃(a₃+3a₄)=r₃(-4+9q)=2. Следовательно, a₃=11. И, наконец, вычислим: 3a₄=-4+9q-11=-15+9q, a₄=-5+3q. Придем к равенствам r₃(a₄)=r₃(-5+3q)=r₃(-5)=1 и a₄=7. Таким образом, искомый набор импульсов на входе физической линии есть (9, 11, 11, 7).

• Ответ

Ответ

9, 11, 11, 7.