Архив задач олимпиады по математике и криптографии

Найти сводку решений системы второй степени

Действительные числа x,y,z удовлетворяют соотношениям:
25x2-5x-6yz=9y2-3y-10xz=z2+z+30xy.
Найдите все возможные тройки чисел (a,b,c), где a=5x-3y,b=3y+z,c=5x+z.

  • Решение

    • Решение

    Заметим, что
    a+b-c=0. (1)
    Обозначим A=25x2-5x-6yz,B=9y2-3y-10xz и C=z2+z+30xy. Вычитая друг из друга эти равенства, получим
    (A-B=a∙(5x+2 z+3 y-1)=0,
    B-C=b∙(3y-10 x-z-1)=0, (2)
    A-C=c∙(-1+5x-6y-z)=0.)
    Предположим, что все три числа a,b,c отличны от нуля. Тогда5x+2 z+3 y-1=0,3y--10 x-z-1=0 и -1+5x-6y-z=0, что невозможно, так как, сложив эти равенства, получим -3=0. Значит, хотя бы одно из чисел a,b,c равно нулю. Рассмотрим возможные случаи:
    Все три числа a,b,c равны нулю. Тройка a=b=c=0 очевидно удовлетворяет условиям задачи (достаточно взять x=y=z=0).
    Среди чисел a,b,c только два равны нулю. Это невозможно: если два числа равны нулю, то, согласно (1), равно нулю и третье.
    Только одно из чисел a,b,c равно нулю.
    a=0. Тогда x=3y/5.Из системы (2) находим b=c=-1;
    b=0. Тогда a=c=1;
    c=0. Тогда a=-1,b=1.
  • Ответ

    • Ответ

    (0,0,0),(0,-1,-1),(1,0,1),(-1,1,0).