На декартовой плоскости рассмотрим окружность радиуса R с центром в начале координат. Укажите хотя бы одно значение R, при котором на такой окружности лежат ровно 32 целочисленные точки (точку называют целочисленной, если ее абсцисса и ордината – целые числа).
Указание. Натуральное число x представимо в виде суммы квадратов двух целых чисел тогда и только тогда, когда все простые числа (кроме 2), входящие в разложение числа x в нечетной степени, имеют вид 4k+1 для некоторых целых k. В частности, в виде суммы двух квадратов представимо любое простое число, дающее остаток 1 при делении на 4. Если каждое из чисел a и b представимо в виде суммы двух квадратов, то это же верно и для их произведения.
Воспользоваться указанием, при этом иметь в виду, что указанное произведение, как правило, представимо в виде суммы двух квадратов большим количеством способов, чем каждый из сомножителей.
Если каждое из чисел a и b представимо в виде суммы двух квадратов, то, как отмечено в указании, их произведение тоже представимо в таком виде. Более того, произведение, как правило, представимо в виде суммы двух квадратов большим количеством способов, чем каждый из сомножителей. Например, число 5 в виде суммы двух квадратов неотрицательных чисел представимо единственным с точностью до перестановки слагаемых способом, а именно: ; число 13 тоже только одним способом: , а вот их произведение уже двумя*: . Добавив еще один простой множитель, дающий остаток 1 при делении на 4, получим 4 способа:
Значит, на окружности радиуса в первой четверти лежат 8 целочисленных точек: (4,33), (33,4), (9,32), (32,9), (12,31), (31,12), (23,24), (24,23). Следовательно, всего на этой окружности лежат 32 целочисленные точки.
Комментарий.
*) Эффект увеличения числа способов принято объяснять, используя комплексные числа. Заметим, что Число 5 равно сумме двух квадратов, так как оно представимо в виде произведения двух сопряженных комплексных (гауссовых) чисел. Аналогично, В то же время число в виде произведения двух комплексно-сопряженных множителей представимо двумя способами: