1.10-9.2004

Сравнить с нулем следующее число

${ \sqrt{\frac{23+\sqrt{205}}2}-\sqrt{\frac{23-\sqrt{205}}2}-\sqrt5. }$

Подсказка

Сравнить разность первых двух радикалов с ${\sqrt{5}}$ путем возведения сравниваемых выражений в квадрат.

Запишем сравниваемые числа следующим образом:

${ \sqrt{\frac{23+\sqrt{205}}2}-\sqrt{\frac{23-\sqrt{205}}2}-\sqrt5 \; \vee \; 0. }$

Перенесем ${\sqrt5}$ в правую часть:

${ \sqrt{\frac{23+\sqrt{205}}2}-\sqrt{\frac{23-\sqrt{205}}2} \;\vee\; \sqrt5. }$

Обе части выражения неотрицательны, поэтому можно возвести в квадрат:

${ \left(\sqrt{\frac{23+\sqrt{205}}2}-\sqrt{\frac{23-\sqrt{205}}2}\right)^2 \;\vee \;5, }$

${ \frac{23+\sqrt{205}}2-2\sqrt{\frac{23+\sqrt{205}}2}\sqrt{\frac{23-\sqrt{205}}2}+ \frac{23-\sqrt{205}}2 \;\vee\; 5. }$

Упростим полученные выражения:

${ 23-\sqrt{(23+\sqrt{205})(23-\sqrt{205})} \;\vee\; 5, }$

${ 23-\sqrt{23^2-205} \;\vee\; 5, }$

${ 23-\sqrt{529-205} \;\vee\; 5, }$

${ 23-\sqrt{324} \;\vee\; 5, }$

${ 23-18 \;\vee\; 5, }$

${ 5\;=\;5. }$

Таким образом, получено равенство. Поэтому исходное число равно нулю.

число равно нулю.