Решение
Сначала выпишем все четырехзначные числа, цифры которых образуют арифметическую прогрессию с положительной разностью:
Среди этих чисел первое, третье, пятое и восьмое четны. Второе число делится на пять, а шестое и девятое делятся на 3. Остается проверить на простоту числа 4567 и 1357.
Нетрудно видеть, что
- не простое число. Чтобы заметить это, нужно перебирать все простые числа от 7 до 23.
Докажем простоту оставшегося числа 4567. Для этого достаточно убедиться, что 4567 не делится ни на одно простое число, не превосходящее
. Действительно, пусть это доказано. Предположим, что
не простое. Тогда
, где a,b>67, поэтому
![]()
N}" alt="{N=ab\ge68\cdot68>N}"> , противоречие.
Итак, выпишем все простые числа в интервале от 2 до 67:
(числа 2, 3, 5 не выписаны. поскольку делимость на них уже проверялась). Непосредственной проверкой убеждаемся, что 4567 не делится ни на одно это число.