В остроугольном треугольнике ABC на стороне AC выбрана точка Q так, что AQ:QC=1:2. Из точки Q опущены перпендикуляры QM и QK на стороны AB и BC соответственно. При этом BM:MA=4:1, BK=KC. Найдите MK:AC.
Проведем высоты и . Идея решения в следующем: покажем, что треугольники , MBK и ABC друг другу подобны; отсюда будет легко найти требуемое отношение.
Обозначим длины:
AQ=x, QC=2x, CK=z, KB=z, BM=4y, MA=y.
Из подобия треугольников и QKC находим Аналогично, так как , то . Таким образом, так как и , то с коэффициентом подобия 2 (их общий угол лежит между пропорциональными сторонами). Хорошо известно, что треугольник, образованный двумя основаниями высот и вершиной, подобен исходному, а именно: с коэффициентом подобия Значит, и тогда
Остается вычислить Площади подобных треугольников и относятся как квадрат коэффициента подобия:
Отсюда Подставив найденное значение в (1), получаем ответ.
