Архив задач

5.11-10.2007

Хорда {DB} длины {a} окружности радиуса {R} продолжена за точку {B} до точки {E} так, что {|BE|=2a} . Диаметр {AB} продолжен за точку {B} до точки {C} так, что {|BC|=R} . Найти периметр четырехугольника { ADCE } .

  • Подсказка

    • Подсказка

    Доказать подобие треугольников {ABE} и {BCD} и то, что четырехугольник {ADCE} - трапеция.
  • Решение

    • Решение

    Сделаем чертеж (т. {O} - центр указанной окружности).
         5.10_11.2007.jpg
         1. Заметим, что по условию задачи треугольники {ABE} и {BCD} подобны с коэффициентом подобия {k=2} . Отсюда следует, что {AE=2\cdot DC} , {\angle AED} и {\\angle CAE} . Кроме того, можно заметить, что прямые {AE} и {DC} параллельны, то есть четырехугольник {ADCE} является трапецией.
         2. Из прямоугольного треугольника {ADB} находим
    {AD=\sqrt{4R^2-a^2}.}
    Обозначим угол {DBA} через {\alpha} . Тогда
    { \cos\alpha=\frac{DB}{AB}=\frac{a}{2R},\quad \sin\alpha=\frac{AD}{AB}=\frac{\sqrt{4R^2-a^2}}{2R}}

         3. Из прямоугольного треугольника {ADE} найдем
    { AE^2=AD^2+DE^2=(4R^2-a^2)+9a^2=4R^2+8a^2,}

    { AE=2\sqrt{R^2+2a^2}.}
    Следовательно, {DC=\sqrt{R^2+2a^2}}
         4. В треугольнике {BCE} по теореме косинусов находим
    { CE^2=BC^2+BE^2-2\cdot BC\cdot BE\cdot\cos\alpha=}

    { = R^2+4a^2-2\cdot R\cdot 2a\cdot\frac{a}{2R}=R^2+2a^2,}
    откуда {CE=\sqrt{R^2+2a^2}} .
         5. Окончательно периметр {ADCE} равен
    {p=AD+DC+CE+AE=\sqrt{4R^2-a^2}+4\sqrt{R^2+2a^2}.}
  • Ответ

    • Ответ

    {\sqrt{4R^2-a^2}+4\sqrt{R^2+2a^2}} .