Архив задач

6.11-10.2003

Найти все решения системы уравнений
{ \left\{\begin{array}{l} y+2=(3-x)^3,\\ (2z-y)(y+2)=4y+9,\\ x^2+z^2=4x, \end{array}\right. }
удовлетворяющие условию {z\ge0} .

  • Подсказка

    • Подсказка

    Преобразовать второе и третье уравнения системы и выполнить замену {u=x-2,\; v=y+2} . С учетом ограничений на {z} определить возможные значения переменной {v} .
  • Решение

    • Решение

    Сначала преобразуем систему:
    { \left\{\begin{array}{l} y+2=(3-x)^3,\\ 2z(y+2)=(y+3)^2,\\ (x-2)^2+z^2=4. \end{array}\right. }
    Сделаем замену переменных {x-2=u} , {y+2=v} :
    { \left\{\begin{array}{l} v=(1-u)^3,\\ 2zv=(v+1)^2,\\ u^2+z^2=4. \end{array}\right. }
    Из условия задачи и третьего уравнения получаем, что
    { 0\le z\le2. }
    Из второго уравнения имеем: либо {v=0} , либо {z=\frac{(v+1)^2}{2v}} . Легко видеть, что значение {v=0} не удовлетворяет второму уравнению системы. Поэтому
    { z=\frac{(v+1)^2}{2v}. }
    Из условия {0\le z\le2} следует, что
    { 0\le\frac{(v+1)^2}{2v}\le2. }
    Решим полученную систему неравенств
    { \left\{\begin{array}{l} \frac{(v+1)^2}{2v}\ge0,\\ \frac{(v+1)^2}{2v}\le2, \end{array}\right. }

    { \left\{\begin{array}{l} \frac{(v+1)^2}{2v}\ge0,\\ \frac{(v-1)^2}{2v}\le0, \end{array}\right. }

    { \left\{\begin{array}{l} \left[\begin{array}{l} v>0\\ v=-1, \end{array}\right.\\ \;\\ \left[ \begin{array}{l} v<0\\ v=1. \end{array}\right. \end{array}\right. }

    { \left[\begin{array}{l} v=-1,\\ v=1. \end{array}\right. }

         В первом случае {v=-1} получаем {z=0} , {u=2} .
         Во втором случае {v=1} получаем {z=2} , {u=0} .
         Возвращаясь к исходным неизвестным, получим два решения {x=2} , {y=-1} , {z=2} и {x=4} , {y=-3} , {z=0} .
  • Ответ

    • Ответ

    {(2,-1,2)} , {(4,-3,0)}