Решение
В задаче речь идет о трехгранном угле с вершиной в центре сферы, высекающем на сфере криволинейный треугольник. Площадь этого треугольника требуется выразить через радиус сферы и данные в условии плоские углы трехгранного угла, которые будем обозначать ∠AOB=α, ∠AOC=β, ∠BOC=γ.
Рассмотрим сначала две различные плоскости, проходящие через центр сферы. Пусть угол между этими плоскостями равен φ. Плоскости пересекают сферу по большим окружностям. Касательные к окружностям в их точке пересечения также образуют угол φ. Площадь поверхности сферы равна
![](http://cryptolymp.ru/cgi-bin/mt.cgi?{ 4\pi R^2 })
. Площадь высекаемой плоскостями «дольки» (указанной на рисунке цветом) очевидно пропорциональна величине φ и равна
![](http://cryptolymp.ru/cgi-bin/mt.cgi?{ 4\pi R^2 \cdot \frac{\varphi }
{{2\pi }} = 2R^2 \varphi })
.
![11-2.jpg 11-2.jpg](/upload/medialibrary/40a/40a4757f4af66fac7b5aedc21393b5c9.jpg)
Три плоскости (содержащие грани трехгранного угла) разбивают сферу на 8 треугольников. Искомую площадь криволинейного треугольника ABC обозначим через S, а его углы (которые, очевидно, являются двугранными углами трехгранного угла OABC) за φ, ψ, θ. Площади криволинейных треугольников, примыкающих к сторонам треугольника ABC, обозначим
![](http://cryptolymp.ru/cgi-bin/mt.cgi?{ S_\varphi })
,
![](http://cryptolymp.ru/cgi-bin/mt.cgi?{ S_\psi })
,
![](http://cryptolymp.ru/cgi-bin/mt.cgi?{ S_\theta })
. С каждым из этих треугольников △ABC образует «дольку», поэтому
![](http://cryptolymp.ru/cgi-bin/mt.cgi?{ S+S_\varphi=2R^2 \varphi })
,
![](http://cryptolymp.ru/cgi-bin/mt.cgi?{ S+ S_\psi =2R^2 \psi })
,
![](http://cryptolymp.ru/cgi-bin/mt.cgi?{ S+S_\theta=2R^2 \theta })
. Оставшиеся из 4-х нерассмотренных криволинейных треугольников симметричны 4-м рассмотренным относительно центра сферы. Значит, суммарная площадь рассматриваемых четырех треугольников равна половине площади сферы, то есть
![](http://cryptolymp.ru/cgi-bin/mt.cgi?{ S_\varphi + S_\psi + S_\theta = 2\pi R^2 })
. Отсюда после несложных преобразований для площади S криволинейного △ABC с углами φ, ψ, θ получим известную формулу
Остается для трехгранного угла OABC выразить его двугранные углы φ, ψ, θ через данные в задаче плоские углы α, β, γ. Для этого применим известную теорему косинусов для трехгранного угла.
Теорема. Дан трехгранный угол OABC, в котором ∠AOB=α, ∠AOC=β, ∠BOC=γ. Пусть θ – величина двугранного угла при ребре AO. Тогда
По условию, все плоские углы одинаковы α=β=γ=60°. Поэтому все двугранные углы φ, ψ, θ также равны между собой. Согласно (2),
![](http://cryptolymp.ru/cgi-bin/mt.cgi?{ \cos \theta = \frac{1}{3} })
и
![](http://cryptolymp.ru/cgi-bin/mt.cgi?{ \theta = \arccos \frac{1}{3} })
. Подставляя найденные значения в формулу (1), получаем
![](http://cryptolymp.ru/cgi-bin/mt.cgi?{ S = \left( {3 \cdot \arccos \frac{1}
{3} - \pi } \right) \cdot R^2 })
.