Решение
Будем вычислять объем пирамиды, приняв один из треугольников со
сторонами 2,3,4 за основание. По формуле Герона его площадь равна
Второй треугольник с такими же сторонами является боковой гранью
этой пирамиды. Поскольку длина перпендикуляра меньше длины
наклонной, то высота пирамиды не превышает высоты боковой грани,
причем равенство возможно лишь в случае, когда эта грань
перпендикулярна плоскости основания. Рассмотрим 3 случая, в
зависимости от того, какая из сторон треугольника лежит в плоскости
основания:
а) если в плоскости основания лежит сторона длины 4, то высота
боковой грани равна
и
объем пирамиды не превышает
;
б) если в плоскости основания лежит сторона длины 3, то высота
боковой грани равна
и
объем пирамиды не превышает
;
б) если в плоскости основания лежит сторона длины 2, то высота
боковой грани равна
и
объем пирамиды не превышает
;
Утверждение доказано.