Архив задач

2.11.1999

Решить неравенство
{ \log_{\cos x}\cos^2 x\ge \log_{\cos x-\frac12}\Bigl(\cos^2 x-\cos x-x^2-14x-\frac{51}4\Bigr). }

  • Подсказка

    • Подсказка

    Избавиться от логарифмов и свести получившееся неравенство к квадратному.
  • Решение

    • Решение

    Нетрудно видеть, что ОДЗ неравенства описывается условиями
    { \left\{\begin{array}{l} \cos x>1/2,\\ \cos x\ne1,\\ \cos^2 x-\cos x-x^2-14x-\frac{51}4>0. \end{array}\right. }
    Исходное неравенство запишем в виде
    { 2\ge \log_{\cos x-1/2}\Bigl(\cos^2 x-\cos x-x^2-14x-\frac{51}4\Bigr). }
    Так как основание логарифмов меньше 1, то получаем равносильное неравенство
    { (\cos x-1/2)^2\le\cos^2 x-\cos x-x^2-14x-\frac{51}4. }
    Заметим здесь, что из полученного неравенства следует, что последнее условие ОДЗ выполняется, поэтому проверять его при проверке ОДЗ не требуется. Далее, возведя в квадрат в левой части, увидим, что косинусы сокращаются, и получается неравенство
    { x^2+14x+13\le0. }
    Множество его решений {x\in[-13,-1]} .
         Проверим ОДЗ. Так как для этих {x} последнее условие ОДЗ уже выполнено, то осталось выделить те {x} , для которых выполнены первые два условия ОДЗ. Этим двум условиям ОДЗ удовлетворяют числа вида
    { x\in(-\pi/3+2\pi n,~2\pi n)\cup(2\pi n,~\pi/3+2\pi n). }
    Среди них нужно найти те. которые заключены в отрезке {[-13,-1]} . Учитывая неравенства
    { -\frac\pi3-4\pi<-13<-4\pi, }

    { -\frac\pi3<-1<0, }
    уже нетрудно получить окончательный ответ
    { x\in[-13,-4\pi)\cup(-4\pi,-4\pi+\pi/3)\cup }

    { \cup(-2\pi-\pi/3,-2\pi)\cup(-2\pi,-2\pi+\pi/3)\cup(-\pi/3,-1]. }
  • Ответ

    • Ответ


    { [-13,-4\pi)\cup(-4\pi,-4\pi+\pi/3)\cup(-2\pi-\pi/3,-2\pi)\cup(-2\pi,-2\pi+\pi/3)\cup(-\pi/3,-1]. }