Решение

В правильной четырехугольной пирамиде
обозначим через
,
,
и
длины стороны основания
, боковой стороны
,
высоты
и апофемы
. Пусть
- искомый
плоский угол при вершине пирамиды.
Способ 1. По теореме Пифагора
Найдем радиусы
вписанного и описанного шара. Обозначим их

и

соответственно.
Пусть

- середина

. Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью

. Тогда радиус шара, вписанного в пирамиду, равен радиусу
окружности, вписанной в треугольник

. Площадь этого
треугольника равна

, а полупериметр
})
. Так как

, то
Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью

. Тогда радиус шара,
описанного около пирамиды, равен радиусу окружности, описанной около
треугольника

. По теореме синусов
Отметим, что мы
вывели общие формулы для радиусов шаров, вписанного и описанного
около правильной четырехугольной пирамиды.
По условию центры вписанного и описанного шаров совпадают. Тогда их
общий центр есть точка

, лежащая на высоте пирамиды. Поэтому
сумма радиусов вписанного и описанного шара равна высоте пирамиды:

. Получаем систему уравнений
Рассмотрим
отдельно третье уравнение:
Обозначим

. Заметим, что

, где

- искомый плоский угол
при вершине пирамиды. Разделив обе части уравнения на

, а
числитель и знаменатель дроби еще на

, получим
Так как
x>0, то
Дискриминант

, положительный корень
Получаем, что

. Отсюда
Следовательно,

.
Способ 2. Пусть

- центр вписанного и описанного шаров,

и

- точки касания вписанного шара. Тогда

,

.
Так как длины касательных, проведенных из точек

и

к
вписанному шару, равны, то
Треугольники

и

равны по трем сторонам. Заметим, что эти
треугольники прямоугольные. Так как

, то и
Треугольники

и

равны как прямоугольные треугольники
(прямой угол

) с общим катетом и равными гипотенузами

.
Следовательно,

.
Отсюда
Следовательно,
Теперь
и

.