Архив задач

5.09.2011

Числа {a,b,c} удовлетворяют условиям {2011(a + b + c) = 1} и {ab + ac + bc = 2011 \cdot abc.} Найти {a^{2011} + b^{2011} + c^{2011}.}

  • Подсказка

    • Подсказка

    Числа {a,b,c} удовлетворяют условиям {2011(a + b + c) = 1} и {ab + ac + bc = 2011 \cdot abc.} Найти {a^{2011} + b^{2011} + c^{2011}.}
  • Решение

    • Решение

    Из условия задачи вытекает равенство
    { \frac{1}{a + b + c} = \frac{ab + ac + bc}{abc} = 2011. }
    Из первого равенства следует, что {abc = (a + b + c)(ab + ac + bc).} Преобразовав полученное равенство путем переноса всех слагаемых в одну сторону и раскрытием скобок, получим, что
    {a^2 b+a^2 c+2abc+ab^2+b^2 c+ac^2+bc^2=0.}
    После разложения на множители приходим к виду
    {(a + b)(a + c)(b + c) = 0. }
    Значит, среди искомых чисел есть два, дающие в сумме 0. Из соображений симметрии можем считать, что это {a} и {b} . Т.е. {a=-b} , а значит, {a^{2011}+b^{2011}=0} . Тогда {c=\frac{1}{2011}} и
    {a^{2011} + b^{2011} + c^{2011}=0+\frac{1}{2011^{2011}}=\frac{1}{2011^{2011}}.}
  • Ответ

    • Ответ

    {\frac{1}{2011^{2011}}.}